> 　これを「cate1」と「cate2」のどちらにも属して
> 　いるアイテムを得たい場合、どのように書けば良いも
> 　のでしょうか？

班石です。下記でどうでしょうか

SELECT DISTINCT a.item_name FROM category_item as a,category_item as b
  WHERE
    (a.category_name = 'cate1') and
    (b.category_name = 'cate2') and
   a.item_name = b.item_name