アトムです。

> これはどのようにして別のサーバーに移行させるのですか？
> FTPだとうまくいきませんでした。
どの段階でコケたのでしょうか？
もしかして、FTPの権限とMySQLの権限の制限で、
ダウンロードがうまくできなかっただけでしょうか？

MySQLの権限を緩めることでダウンロードは開始できると思います。
あとは、tkさんの手順に沿って作業されれば大丈夫でしょう。