>   key smallint(5) NOT NULL default ''

これ通りましたか？
keyはキーワードに該当するためか、当方ではフィールド名に使用できませんでし
た。

MySQLマニュアル
>データベース名、テーブル名、インデックス名、フィールド名、エイリアス名
>識別子が制限された単語であったり特殊文字を含む場合は、それを使用す
>る時には常に ` でクォートする必要があります

他にもdateといった命名も避けた方が良いと思います。面倒でも、一意の参照ができ
る命名(tb_date,user_id,user_address,user_domain,user_key)の方が不可解な現象
を回避できる可能性があります。

さて、テーブル、フィールド名を修正した上で以下のように実行することができまし
た。
<?php
$DB_SERVER='localhost';
$DB_USER='*******';
$DB_PASSWD='********';
$DB_DATABASE='********';

if (!$dbHandle = mysql_connect($DB_SERVER,$DB_USER,$DB_PASSWD)) { echo '接続
エラー'; exit; }
$sql = "SELECT user_id,user_key FROM tb_date WHERE user_address =
'$_GET[address]' AND user_domain = '$_GET[domain]' AND user_key =
$_GET[key]";
if (!$rs = mysql_db_query($DB_DATABASE,$sql)) { echo 'クエリ発行エラー';
exit; }
$row = mysql_fetch_array($rs);
echo 'user_id=' . $row[0] . '<BR>';
echo 'user_key=' . $row[1] . '<BR>';
mysql_close($dbHandle);
?>

さて、mysql_db_****はPHP4.0.6以降古い関数として扱われていますのでサポートが
終わることもあります。
mysql_select,mysql_queryを用いてみてはいかがでしょうか。
<?php
$DB_SERVER='localhost';
$DB_USER='********';
$DB_PASSWD='********';
$DB_DATABASE='********';

if(!$link = mysql_connect($DB_SERVER,$DB_USER,$DB_PASSWD)) { echo '接続エ
ラー'; exit; }
if(!mysql_select_db($DB_DATABASE,$link)){echo ("DB選択エラー"); exit;}
$sql = "SELECT user_id,user_key FROM tb_date WHERE user_address =
'$_GET[address]' AND user_domain = '$_GET[domain]' AND user_key =
$_GET[key]";
if (!$rs = mysql_query($sql)) { echo 'クエリ発行エラー'; exit; }
$row = mysql_fetch_array($rs);
echo 'user_id=' . $row[0] . '<BR>';
echo 'user_key=' . $row[1] . '<BR>';
mysql_close($link);
?>