sinです。

起動ユーザーは確かrootは使えなかったような気がします。
RPMとかでインストールした場合は、mysqlと言うユーザー・グループが出来ていると思いますので、そちらで起動された方が良いでしょう。
ソースからインストールされた場合はユーザーを作る必要があります。

下記のように。
/usr/local/mysql/bin/safe_mysqld --user=mysql &


> [状況]
>  MySQLのインストールは無事終了致しました。
>  インストール直後に初期データベースを作成し、
>  /usr/local/mysql/bin/safe_mysqld --user=root &
>  とコマンドを入力した後、mysqladminでpingを打ったところ
>  mysqld is alive
>  と返ってきたので、無事動いていたと思います。
>  その後、自分で試しのデータベースやその中にテーブルを作成したところ、何
>  の問題もなく処理が出来ました。
> 
>  ここでその日の処理を終わり、翌日再度MySQLを起動させようとしたところ、
>  下記のエラーが返ってきてしまい、起動出来なくなってしまいました。
> 
>     (入力したコマンド)
>     /usr/local/mysql/bin/mysql --user=root -password=xxx
>     (エラーメッセージ)
>     ERROR 2002:Can't connect to local MYSQL server through socket
>     '/var/lib/mysql/mysql.sock' (2)
> 
>     また
>     /usr/local/mysql/bin/safe_mysqld --user=root &
>     とコマンドを入力すると
>     [1] 8903
>     [root@localhost bin]# Starting mysqld daemon with database from
>     /var/lib/mysql
> 
>     020920 08:43:11 mysqld ended
>     (このメッセージが出た後にエンターキーを入力すると)
>     [1]+ Done    /usr/local/mysql/bin/safe_mysqld --user=root &
> 
>     となってしまいます。
> 
> 何が原因だか全く判らず大変困っております。
> どなたかご存じの方がおられましたら、何卒宜しくお願い致します。