宏です。
申し訳ございません。
$sth2 = $dbh->prepare( qq{ UPDATE box SET "txt$a" = "$txtbun" WHERE id =
"aa"});
の部分の「SET "txt$a" =」の「””」を取り除いたら上手くいきました。

色々試してみたと言っておきながら、こんな単純な事を見落としていました。
難しく考えすぎていたのかもしれません。
お騒がせして申し訳ございませんでした。