川上です。解決しました。

>個人的には、一度アンインストールして、Perlをきれいに入れなおす
>ことをお薦めします。（それもデフォルトディレクトリに）

私がダウンロードしたActivePerlのパッケージはZIP形式のもので、
解凍してinstall.batを実行するタイプのものなので、とりあえず
ActivePerlをアンインストールし、インストール先を

C:\perl

として再インストールしたところ、通常の方法でのDBIモジュールの
インストールに成功しました。これまでのインストール先ディレクトリが

C:\ActivePerl

と、MS-DOS形式の８文字を超えていたのが原因だったのかも
しれません。ともかく、無事DBIモジュールをインストール
できました。ありがとうございました。m(_ _)m