三嶋です。

install時のエラーは、/etc/hostsに192.168.0.5のIPアドレスが存在していない
為に発生しているものと思われます。

> しかし、実際の /etc/hosts には、以下の様に記述してあります。
> ----------------------------------------------
> 127.0.0.1  192.168.0.5 192 localhost.localdomain localhost
> ----------------------------------------------
> このファイルに、なんと記述すればいいのでしょうか。
> いろいろ試したのですが、mysql_install_dbを実行すると同じエラーが発生してしま
> います。

/etc/hostsには
IPアドレス   ホスト名    ホスト名の別名(無くてもいい)
という形式を１行にしましょう。

> 環境
> Red HatLinux 6.2
> APACHE 1.3.12
> MySQL 3.23.36
> ホスト名 192.168.0.5
> ドメイン名 192.168.0.5
> IPアドレス 192.168.0.5

どうして、ホスト名が「192.168.0.5」でドメイン名も「192.168.0.5」
なのでしょう。

/etc/hostsの書き方からすると、失礼ながらあまり詳しい方ではないですよね？

であれば、ホスト名やドメイン名にIPアドレスは使わずに、別の名称を使用
しましょう。
エラーが発生した時に、それが何のエラーか特定しやすくなると思います。

読んではいないですが、「MySQL & PHP Webデータベース入門」には
全てIPアドレスで記述する様に載っているのでしょうか？