豊島正之さんありがとうございます。

確認してみたところ、

>[mysqld]
>...
>max_allowd_packet = 1M  ← ここを 1000M とかに変更

を、1000Mに変更すると、確かに問題なくデータが挿入されます。
ただ、max_allowd_packetは、受け取るパケットの最大値を設定しているという
認識なのですが、間違っているでしょうか？
データを小分けにすればよいのかと思ってやってみましたが、
そうしたら、エラーも出ず、値がNULLになってしまいました。

insert into `AAA` (ID,DATA) values ('1','1MB程度の日本語データ');
select length(DATA) from AAA; ← 1MBと返します。
UPDATE `AAA` SET `DATA`=CONCAT(`DATA`,'500KB程度の日本語データ');
select length(DATA) from AAA; ← 0と返します。

どうして挿入されないのでしょうか？
よろしくお願いします。

テスト環境：Windows2003+Mysql4.1.19