自己レスです。

'max_questions'のエラーが出るには、１時間当たり300,000回の
クエリ発行をしないと出ないようです。

１時間当たりにどれぐらい発行しているかを計測したところ
サイトが正常に動いている場合で約275,000回でした。（推測値）

その後、MySQLにアクセスできなくなったので、300,000を超えたのだと
思われます。この'max_questions'はMySQLのユーザ単位での制限なので
片方だけのデータベースだけが反応しなくなったのも頷けます。

解決策と致しまして、共有レンタルサーバから専用サーバへの
移行を行うことで対処となりました。

お答えくださった皆さんありがとうございました。


> 新しく分かったことがあります。
> SELECT文を発行した際に出る「エラー」は下記の内容でした。
>
> User 'ユーザ名' has exceeded the 'max_questions' resource (current 
> value:300000)
>
> このエラーの原因についてはこれから調査を行います。
>
> あと、片方のデータベースだけ反応しないので、max_connectionsは違うという
> 判断に至りました。
>
> だいぶ解決に向けて兆しが見えてきたので頑張ります！